\section{Question 3}

\begin{center}
\textsc{Diagramme de flux 2}\\[6mm]
\begin{barenv}
\setstretch{20}
\setwidth{10}
%\sethspace{0.5}
%\setnumberpos{empty}
\setxname{Trimestre}
\setyname{Somme}
%\setxaxis{0}{44}{1}
\setyaxis{-6}{2}{1}
\setstyle{\tiny\ttfamily}
\bar{-2,5}{1}    \bar{}{0}      \bar{}{0}  \bar{}{0}
\bar{-1,23}{2}   \bar{}{0}      \bar{}{0}  \bar{}{0}
\bar{-0,105}{3}  \bar{}{0}      \bar{}{0}  \bar{}{0}
\bar{0,02}{4}    \bar{-2,5}{5}  \bar{}{0}  \bar{}{0}
\bar{-0,1375}{6} \bar{}{0}      \bar{}{0}  \bar{}{0}
\bar{-5,18}{7}   \bar{}{0}      \bar{}{0}  \bar{}{0}
\bar{1,55}{8}    \bar{}{0}      \bar{}{0}  \bar{}{0}
%\bar{1,55}{8}  \bar{}{0}  \bar{}{0}  \bar{}{0}
%\bar{1,55}{8}  \bar{}{0}  \bar{}{0}  \bar{}{0}
%\bar{1,55}{8}  \bar{}{0}  \bar{}{0}  \bar{}{0}
%\bar{1,55}{8}  \bar{}{0}  \bar{}{0}  \bar{}{0}
%\bar{1,55}{8}  \bar{}{0}  \bar{}{0}  \bar{}{0}
\end{barenv}
\end{center}
\par\vspace{2\baselineskip}
\qquad\\
\qquad\legend1{\textbf{Perte} : $M_1$ premier versement à Mercury -2,5 MUSD}\\
\qquad\legend2{\textbf{Perte} : $E + W_p + W_a$ achat serveur plus Projet Manager plus assistant -1,23 MUSD}\\
\qquad\legend3{\textbf{Perte} : $W_p + W_a + \frac{1}{2}P$ Project Manager plus assistant moins pénalité  -0,105 MUSD }\\
\qquad\legend4{\textbf{Gain} :  $W_p + W_a$  Projet Manager plus assistant moins pénalité 0,02 MUSD}\\
\qquad\legend5{\textbf{Perte} : $M_2$ deuxième versement à Mercury -2,5 MUSD}\\
\qquad\legend6{\textbf{Perte} : $W_p + W_a - \frac{1}{4}P$ Project Manager plus assistant moins penalité -0,1375 MUSD }\\
\qquad\legend7{\textbf{Perte} : $M_3 + W_p + W_a + W_f$ troisième versement à Mercury plus Project Manager
plus assitant plus formation moins penalité -5,18 MUSD}\\
\qquad\legend8{\textbf{Gain} : économie net (suppression de postes et autres) +1,55 MUSD}\\

\begin{equation}
\begin{split}
G_0 &= \sum_{j=6}^n\frac{G_j}{(1+i_a)^j} + P_t\\
P_t &= \frac{P}{2(1+i_a)^2} + \frac{P}{(1+i_a)^3} + \frac{P}{4(1+i_a)^4} \\
\intertext{$P_t = 352$ KUSD : pénalités globales}\\
C_0 &= M_1 + \frac{E + W_p + W_a}{(1+i_a)} + \frac{W_p+ W_a}{(1+i_a)^2} + \frac{W_p + W_a}{(1+i_a)^3}
+ \frac{M_2}{(1+i_a)^{3,25}} + \frac{W_p + W_a}{(1+i_a)^4} + \frac{M_3 + W_p + W_a + W_f}{(1+i_a)^5}\\
&= 9 830
\end{split}
\end{equation}

\subsection{On cherche $n$ avec $G_j$ fixé}
\begin{equation}
\begin{split}
C_0 &= \sum_{j=6}^n\frac{G_j}{(1+i_a)^j} + P_t\\
n &= -\frac{\log(-\frac{(C_0 - P_t)i_a}{G_j} + (1+i_a)^{-5})}{log(1+i_a)}\\
n &= -\frac{\log(-\frac{(9,830 - 0,352)\times 0,08}{1,55} + (1,08)^{-5})}{\log(1,08)}\\
n &= 21,48
\end{split}
\end{equation}

Le projet sera rentabilisé à partir de la 22ème année

\subsection{On cherche $G_j$ avec $n$ fixé}
Avant de calculer $G_j$, il nous faut actualiser $C_0$\\
\begin{equation}
\begin{split}
G_j &= 10W_h + 7W_c + x\\
G_j &= 1,55 + x\\
C_0 &= \sum_{j=5}^{10}\frac{G_j}{(1+i_a)^j} + P_t\\
&= \frac{G_j}{(1+i)^5}\sum_{j=1}^6(1+i)^{-j} + P_t\\
&= \frac{G_j}{(i+i_a)^5}\frac{(1-(1+i)^{-6})}{i} + P_t
\end{split}
\end{equation}
Maintenant, on calcule les bénéfices $x$ à réaliser chaque année durant 5 ans. On a toujours $G_j = x + 1,55$

\begin{equation}
\begin{split}
C_0 &= \frac{G_j}{(1+i_a)^5}\frac{(1-(1+i)^{-6})}{i_a} + P_t\\
G_j &= \frac{(C_0 - P_t) i_a \times (1+i_a)^5}{(1-(1+i)^6)}\\
x &= \frac{(C_0 - P_t) i_a \times (1+i_a)^5}{(1-(1+i)^{-6})} - 1,55\\
x &= \frac{(10,374 - 0,352)\times 0,08 \times 1,08^5}{1 - (1,08)^{-6}} - 1,55\\
x &= 1 635
\end{split}
\end{equation}

Il faut réaliser un bénéfice de 1 635 KUSD chaque année afin que le projet soit rentabilisé au bout de 6 ans.