\section{Question 1}

\begin{center}
\textsc{Diagramme de flux 1}\\[6mm]
\begin{barenv}
\setstretch{20}
\setwidth{20}
%\sethspace{0.1}
%\setnumberpos{top}
\setxname{Semestre}
\setyname{Somme}
\setxaxis{0}{9}{1}
\setyaxis{-6}{2}{1}
\setstyle{\tiny\ttfamily}
\bar{-2,5}{1} \bar{}{0}
\bar{-1,23}{2} \bar{-2,5}{3}
\bar{-0,23}{4} \bar{}{0}
\bar{-5,43}{5} \bar{}{0}
\bar{1,55}{6} \bar{}{0}
%\bar{1,55}{6} \bar{}{0}
%\bar{1,55}{6} \bar{}{0}
%\bar{1,55}{6} \bar{}{0}
%\bar{1,55}{6} \bar{}{0}
%\bar{1,55}{6} \bar{}{0}
\end{barenv}
\end{center}
\par\vspace{2\baselineskip}
\qquad\\
\qquad\legend1{\textbf{Perte} : $M_1$ premier versement à Mercury -2,5 MUSD}\\
\qquad\legend2{\textbf{Perte} : $E + W_p + W_a$ achat serveur plus Projet Manager plus assistant -1,23 MUSD}\\
\qquad\legend3{\textbf{Perte} : $M_2$ deuxième versement à Mercury -2,5 MUSD}\\
\qquad\legend4{\textbf{Perte} : $W_p + W_a$ Project Manager plus assistant -0,23 MUSD }\\
\qquad\legend5{\textbf{Perte} : $M_3 + W_p + W_a + W_c + W_h$ troisième versement à Mercury plus Project Manager
plus assitant plus formation (Salaire des commerciaux et des Calls Center) -5,43 MUSD}\\
\qquad\legend6{\textbf{Gain} : économie net (suppression de postes et autres) +1,55 MUSD}\\

Soit $n$ le nombre d'année à partir duquel le projet est rentabilisé.\\
Soit $G_j$ les gains mensuels perçus ($G_j$ est identique chaque mois).

\begin{equation}
\begin{split}
G_0 &= \sum_{j=4}^n\frac{G_j}{(1+i_a)^j}\\
&= \frac{G_j}{(i+i_a)^3}\frac{(1-(1+i)^{-n+3})}{i}\\
&= G_j\frac{((1+i_a)^{-3}-(1+i_a)^{-n})}{i_a}\\
C_0 &= M_1 + \frac{E + W_p + W_a}{(1+i_a)} + \frac{M_2}{(1+i_a)^{1,5}} + \frac{W_p + W_a}{(1+i_a)^2} +
\frac{M_3 + W_p + W_a + W_h}{(1+i_a)^3}\\
&= 10,374
\end{split}
\end{equation}

\subsection{On cherche $n$ avec $G_j$ fixé}
On veut que $C_0 = G_0$ $\Rightarrow$ il nous faut calculer $n$

\begin{equation}
\begin{split}
C_0 &= G_j\frac{((1+i_a)^{-3}-(1+i_a)^{-n})}{i_a}\\
\frac{C_0 i_a}{G_j} &= (1+i_a)^{-3} - (1+i_a)^{-n}\\
(1+i_a)^{-n} &= -\frac{C_o i_a}{G_j} + (1+i_a)^{-3}\\
-n\log(1+i_a) &= \log(-\frac{C_0 i_a}{G_j} + (1+i_a)^{-3})\\
n &= -\frac{\log(-\frac{C_0 i_a}{G_j} + (1+i_a)^{-3})}{log(1+i_a)}\\
n &= -\frac{\log(-\frac{10,374 \times 0,08}{1,55} + (1,08)^{-3})}{\log(1,08)}\\
n &= 17,58
\end{split}
\end{equation}

Le projet sera rentabilisé à partir de la 18ème année

\subsection{On cherche $G_j$ avec $n$ fixé}
Avant de calculer $G_j$, il nous faut actualiser $G_0$\\
\begin{equation}
\begin{split}
G_j &= 10W_h + 7W_c + x\\
G_0 &= \sum_{j=4}^9\frac{G_j}{(1+i_a)^j}\\
&= \frac{G_j}{(1+i)^3}\sum_{j=1}^6(1+i)^{-j}\\
&= \frac{G_j}{(i+i_a)^3}\frac{(1-(1+i)^{-6})}{i}
\end{split}
\end{equation}
Maintenant, on calcule les bénéfices $x$ à réaliser chaque année durant 6 ans. On a $G_j = x + 1,55$

\begin{equation}
\begin{split}
G_0 &= \frac{G_j}{(1+i_a)^3}\frac{(1-(1+i_a)^{-6})}{i}\\
G_j &= \frac{Ci \times (1+i_a)}{(1-(1+i_a)^6)}\\
x &= \frac{C_0 i_a \times (1+i_a)}{(1-(1+i_a)^6)} - 1,55\\
x &= \frac{10,374 \times 0,08 \times 1,08}{(-0,08)^6)} - 1,55\\
x &= 1 276
\end{split}
\end{equation}

Il faut réaliser un bénéfice de 1 276 KUSD chaque année afin que le projet soit rentabilisé au bout de 6 ans.