\documentclass[dvips,french]{seminar}

%% Projet Epistemologie
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\author{{\large Jérôme Pouiller} \and {\large Marco Tessari}}

\title{\huge La Relativité Restreinte}
\date{07 Juillet 2003}
%\address{EPITA}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\begin{slide}
\maketitle
\end{slide}

\begin{slide}
\tableofcontents
\end{slide}
\begin{slide}
\section{Dilem du debut du XXième}

\subsection{Galilée: le principe de la relativité (1603)}

\begin{itemize}
  \item La Terre tourne autour du soleil!
  \item Tentative d'expliquer un mouvement dans l'espace
  \item Multitudes de repères spaciaux
  \item Pour l'observateur le résultat est le même
\end{itemize}

\subsection{Newton instaure la physique classique (dans les années 1700)}
\begin{itemize}
  \item Le temps est universel
  \item Les vitesses s'additionnent: $x = x' +  v * t$
\end{itemize}

\subsection{Maxwell prône l'éther (autour de 1850)}
\begin{itemize}
  \item lumière = onde => milieu de propagation = éther
  \item mouvement absolu
  \item impossible d'en prouver l'existence
\end{itemize}

\subsection{Expérience de Michelson et Morley (1887)}
\begin{itemize}
  \item But: prouver existance de l'éther
  \item Hypothèse: la terre traverse l'éther à 30km/s: on a un vent
  d'éther
  \item Mesures: deux faisceaux traversent le vent d'éther dans diverses
  directions
  \item Attentes: décalage entre les faisceaux
  \item Résultat: Aucun décalage
  \item Conclusion: L'éther n'existe pas.
\end{itemize}

\begin{figure}[!ht]
  \begin{center}
    \includegraphics{expmichelson.eps}
  \end{center}
  \caption{Schéma de l'expérience Michelson et Morley}
\end{figure}

\subsection{Les transformations de Lorentz (1904)}
\begin{itemize}
  \item Les corps en mouvements se rétrecissent
  \item Transformations de Lorentz
  \item Garde l'idée d'un référentiel absolu
  \item Pointcaré démontre que les transformations de Lorentz forment un groupe
\end{itemize}

\subsection{L'espace-temps Minkowsi (1900)}
\begin{itemize}
  \item Notion d'espace-temps
  \item Modèle mathématique 4D
\end{itemize}

\subsection{Relativité d'Enstein (1905)}
\subsubsection{Postulats}
\begin{itemize}
  \item Equivalence des référentiels galiléens pour la formulation des
  lois physiques
  \item Invariance de la vitesse dans le vide par rapport aà tout
  système galilléen et indépendant du mouvement de la source
\end{itemize}
\subsubsection{Principe}
\begin{itemize}
  \item Remise en cause du caractère absolu de la simultanéité
  \item Remise en cause du caractère absolu du temps et de la métrique
  spaciale
  \item Invariance de Lorentz postulée pour toute la mécanique et pas
  seulement pour la théorie éléctromagnétique
  \item Espace-temps de Minkowski
\end{itemize}

\end{slide}

\begin{slide}
\section{Explication de la relativité}

\subsection{La transformée de Lorentz}
Permet d'exprimer les longueurs et le temps d'un repère 
du point de vue d'un observateur en mouvement.\\
On cherche:
\begin{align*}
x' &= a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z + a_{14}t\\
y' &= a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z + a_{24}t\\
z' &= a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z + a_{34}t\\
t' &= a_{41}x + a_{42}y + a_{43}z + a_{44}t
\end{align*}
On simplifie triviallement:
\begin{equation}\label{a}
\begin{split}
x' &= a_{11}x + a_{14}t = a_{11}(x - v_{e}t)\\
y' &= a_{22}y\\
z' &= a_{33}z\\
t' &= a_{41}x + a_{44}t
\end{split}
\end{equation}
On crée une sphère lumineuse. On considère deux observateurs 
qui se déplace l'un par rapport à l'autre. 
A $t = t' = 0$ , $x = x'$, $y = y'$ et $z = z'$. 
On remarque que $x' = a_{11}(x - v t)$.\\
A tout instant les deux observateurs sont au centre de la sphère :
\begin{align*}
x'^2+y'^2+z'^2-t'^2c^2 = x^2+y^2+z^2-t^2c^2
\end{align*}
Par identification avec l'équation~\eqref{a}, on obtient un système de 5 équations:
\begin{align*}
x&: &1 &= a_{11}^2 + a_{41}^2\\
y&: &1 &= a_{22}\\
z&: &1 &= a_{33}\\
t&: &- c^2 &= a_{11}^2v^2 + a_{44}^2c^2\\
xt&: &0 &=  -2 a_{11}^2v - 2 a_{41}a_{44}c^2
\end{align*}
\end{slide}
\begin{slide}
Une fois résolue: 
\begin{align*}
a_{11} &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
a_{22} &= 1\\
a_{33} &= 1\\
a_{44} &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
a_{44} &= -\frac{v}{c^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v}{c^2}}}
\end{align*}
D'où:
\begin{align*}
x' &= \frac{x - tv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\
y' &= y\\
z' &= z\\
t' &= \frac{t - \frac{v x}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v}{c^2}}}
\end{align*}
On peut ensuite étendre cette transformation aux vitesses.
\end{slide}

\begin{slide}
  \section{Conséquences de la relativité}
  \subsection{Application à l'énergie cinétique}
  \begin{itemize}
  \item Imaginons deux sphères lancée l'une contre l'autre et considérons 
    deux observateur qui ce deplacent.
  \item On remarque que l'on ne peux pas appliquer la relativité 
    si les masses sont constantes.
  \item On tente de trouver $m$ en fonction de $v$
  \item On obtient $E = m(v)\frac{v^2}{2} = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}v$.
  \item La masse diminue avec la vitesse.
  \item Si fait un dévellopement limité, on obtient: 
    $E=mc^2 + \frac{mv^2}{2} + \frac{3mv^4}{8c^2} + ...$.
  \end{itemize}
\end{slide}

%\begin{slide}
%  \subsection{Preuve par les fluides}
  
  % /!\ La preuve par l'eclipse demontre la relativite generale.
%\end{slide}

\begin{slide}
  \section{Plus loin...}
  La relativité restreinte ne  s'appuie que sur des mouvement uniforme
  (sans accélèration). Quelques  années plus tard, Einstein ennoncera
  la  généralisation  de  la  relativité  à tous  les  mouvements : \textbf{La
  relativité générale}.

  \section{Questions?}

\end{slide}


\begin{slide}
\section{Glossaire}
\begin{description}
  \item[Postulat]: Principe admis comme vrai sans qu'il soit nécessaire
  de le démontrer
  \item [Réferentiel]: Système de coordonnées auquel sont réferées les
  équations d'un problème physique. Avant Enstein les réferentiels
  étaient composés uniquement de trois coordonnées spatiales, Einstein y
  ajoute un coordonnées temporelle.
  \item [Espace-temps]: entité mathématique remplaçant, dans le cadre
  de la théorie de la relativité d'Einstein, la conception classique
  d'un espace et d'un temps absolu.
  \item [Mouvement]: variation de la position d'un point, d'un solide,
  d'un système, étudié dans un référentiel donné, en fonction du
  temps.

\end{description}

\section{Liens}
\textit{A. Einstein}, La théorie de la relativité restreinte et
générale\\
Ed. Dunod, 1999\\
La relativite expliquée simplement par Einstein.\\

{\footnotesize\verb|http://www.alberteinstein.info/|}\\
Tous les manuscrits d'Einstein digitalisé. Une référence 
malheureusement peu exploitable à notre niveau.\\

{\footnotesize\verb|http://elbereth.obspm.fr/~charnoz/grav7.html|}\\
Bon site de vulgarisation et d'histoire de la relativité d'Enstein\\

{\footnotesize\verb|http://histoirechimie.free.fr/Lien/LORENTZ.htm|}\\
Bonne biographie de Lorentz\\

\textit{Mathieu Lefort} et \textit{Bruno Navert}, {\footnotesize\verb|http://pages.infinit.net|
\verb|/mycroft/relativite/equations/transformation_lorentz.htm|}\\
Les démonstration de certaines formules expliquées simplement.

\end{slide}
\end{document}